Как делить отрицательные числа

Информация

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками. Его можно распространить и на рациональные числа, и на действительные числа, повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b|.

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b, нужно число a умножить на число b−1, обратное числуb. То есть, a:b=a·b−1.

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел.

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Пример.


Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7.

Решение.


Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35, а модуль числа 7 равен 7. Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7. Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел, получаем 35:7=5. Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5.


Вот все решение: .


Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7. Этим числом является обыкновенная дробь1/7. Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками: . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

Ответ:

(−35):7=−5.

Пример.


Вычислите частное 8:(−60).

Решение.


По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60). Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4, получаем .


Запишем все решение кратко: .

Ответ:

.

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Пример.


Разделите отрицательное смешанное число на положительную десятичную дробь0,(23).

Решение.


Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23). Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.


Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь: , а также переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: .


Таким образом, .


Осталось разделить обыкновенные дроби в скобках, на этом вычисления будут закончены: .

Ответ:

.

В заключение стоит отметить, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, записанным как корень, степень, логарифм и т.п., то частное часто записывается в виде числового выражения. Выражение по возможности упрощается, а его значение вычисляется приближенно с требуемой точностью только при необходимости.

Пример.


Разделите положительное число 5/7 на отрицательное число .

Решение.


Обратившись к правилу деления чисел с разными знаками, мы можем записать равенство . Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем ответ .

Ответ:

.

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления:чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Как делить отрицательные числа

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, -14.

Ответ:56:(−4)=−14.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80 24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80 24):8=80:8 24:8=10 3=13.

Ответ: 104:8=13.

Не делить на нуль

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Оцените статью
Y-Baby.ru