Разность векторов правило параллелограмма

Информация

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

$overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Рисунок 1. $overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор $overrightarrow{a}$ – нулевой.

    В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow{KK}$.

  2. Вектор $overrightarrow{a}$ — ненулевой.

    Обозначим точкой $A$ — начало вектора $overrightarrow{a}$, а точкой $B$ – конец вектора $overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $left|KLright|=|AB|$ и $left|KMright|=|AB|$. Рассмотрим векторы $overrightarrow{KL}$ и $overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Разность векторов правило параллелограмма

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило второе

Пусть нам даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$.

Разностью двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ называется такой вектор $overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $overrightarrow{b}$ дает вектор $overrightarrow{a}$, то есть

[overrightarrow{b} overrightarrow{c}=overrightarrow{a}]

Обозначение: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{c}$.

Разность векторов правило параллелограмма

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пусть даны векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Построить вектор $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Разность двух векторов

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

[overrightarrow{OB} overrightarrow{BA}=overrightarrow{OA}]

То есть

[overrightarrow{b} overrightarrow{BA}=overrightarrow{a}]

Из определения 2, получаем, что

[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}]

Ответ: $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{OB}=overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Вектор $overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Для любых двух векторов $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

[overrightarrow{a}-overrightarrow{b}=overrightarrow{a} (-overrightarrow{b})]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $left(-overrightarrow{b}right)$, получим

Так как векторы $overrightarrow{b}$ и $left(-overrightarrow{b}right)$ противоположны, то $overrightarrow{b} left(-overrightarrow{b}right)=overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $overrightarrow{a}-overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $overrightarrow{OA}=overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $overrightarrow{AB}=-overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $overrightarrow{AB}=overrightarrow{a}$, $overrightarrow{AD}=overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $overrightarrow{DC} overrightarrow{CB}$

б) $overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}$

Параллелограмм

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

[overrightarrow{DC} overrightarrow{CB}=overrightarrow{DB}]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

[overrightarrow{DB}=overrightarrow{a}-overrightarrow{b}]

б) Так как $overrightarrow{OC}=overrightarrow{AO}$, получим

[overrightarrow{BO}-overrightarrow{OC}=overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}]

По теореме 2, имеем

[overrightarrow{BO}-overrightarrow{AO}=overrightarrow{BO} left(-overrightarrow{AO}right)=overrightarrow{BO} overrightarrow{OA}]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

[overrightarrow{BO} overrightarrow{OA}=overrightarrow{BA}=-overrightarrow{AB}=-overrightarrow{a}]

Разность векторов правило параллелограмма

Оцените статью
Y-Baby.ru